La mathématicienne Eugenia Cheng explore les utilisations des mathématiques au-delà de la salle de classe. Lire plus de colonnes ici.
Alors que le déploiement des vaccins Covid-19 se poursuit, de nombreuses personnes se posent des questions sur l'idée de l'immunité collective. Après tout, les vaccins ne sont pas réservés qu'à ceux qui les reçoivent ; ils sont également destinés à protéger ceux qui ne peuvent pas ou ne peuvent pas se faire vacciner. L'immunité collective ne signifie pas que tout le monde est en quelque sorte immunisé par association. Au contraire, cela signifie quelque chose d'assez précis mathématiquement.
Le point de départ est que les virus se propagent de façon exponentielle : chaque personne infecte, disons, trois personnes en moyenne, et chacune de ces personnes infecte trois personnes, et ainsi de suite. Le nombre de personnes infectées est multiplié à plusieurs reprises par 3 (dans cet exemple hypothétique), et la multiplication répétée est la définition d'une exponentielle en mathématiques.
Si nous multiplions à plusieurs reprises par un nombre supérieur à 1, le résultat augmente de plus en plus rapidement ; c'est une croissance exponentielle. Si nous multiplions à plusieurs reprises par un nombre inférieur à 1, même 0,999, le résultat devient plus petit et finira par être très proche de 0. C'est la décroissance exponentielle. L'objectif est de ramener le taux d'infection à moins de 1, voire légèrement, afin que le virus disparaisse.
En pratique, cependant, même si le taux d'infection reste supérieur à 1, le virus ne peut pas continuer à se propager indéfiniment, car nous avons une population finie et à un moment donné, le virus manquera de personnes à infecter. Ainsi, la vitesse à laquelle un virus se propage est proportionnelle au nombre de personnes infectées et au nombre de personnes non infectées et non immunisées.
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Il est typique des mathématiques que l'étude de la croissance démographique s'est avérée avoir des applications de grande envergure au-delà de ce domaine.
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Cela nous donne une équation différentielle - une relation mathématique entre le taux de variation d'une quantité et d'autres quantités. L'équation différentielle particulière régissant la propagation d'un virus dans une population fixe s'appelle l'équation logistique et a été conçue par le mathématicien belge Pierre François Verhulst dans les années 1830. Il étudiait en fait la croissance démographique, mais l'équation résultante a depuis été appliquée à la propagation de virus, à la propagation de nouveaux mots ou aux changements linguistiques dans une langue et aux vidéos Internet virales. Tout cela se propage par multiplication répétée, sous réserve d'une contrainte sur les ressources disponibles.
La solution de l'équation logistique est une courbe en forme de S allongé. Au début, cela ressemble à une fonction exponentielle, car le virus n'est pas encore limité par les limites de la taille de la population. Mais la croissance ralentit à mesure que le virus manque de personnes à infecter. La vaccination est un moyen d'intervenir pour perturber le modèle d'équation logistique en rendant les gens immunisés plus tôt.
Nous n'avons pas besoin que toute la population soit vaccinée ou que les vaccins soient efficaces à 100 % (ils ne le sont jamais) ; nous avons juste besoin d'eux pour réduire suffisamment les taux d'infection pour nous faire descendre sous 1. C'est l'immunité collective. Cela ne signifie pas que tout le monde est en sécurité ; cela signifie que le virus est sur le point de disparaître.
Il est typique des mathématiques que l'étude de la croissance démographique s'est avérée avoir des applications de grande envergure au-delà de ce domaine. Les bonnes mathématiques ont généralement des applications au-delà de celles qui étaient initialement prévues. Il peut unifier des situations très différentes pour être plus efficace et utiliser les techniques existantes pour les étudier.
Cependant, les modèles mathématiques ne peuvent jamais raconter toute l'histoire. La véritable propagation d'une maladie est beaucoup plus compliquée que les équations abstraites, et il existe de nombreuses quantités que nous ne pouvons pas cerner dans la pratique, telles que le degré exact de contagiosité de la maladie et le nombre de personnes qui continueront à se distancer socialement et à porter des masques sont des moyens importants de réduire davantage le taux effectif d'infection. Les mathématiques sont un outil important, mais ce n'est qu'un outil parmi tant d'autres que les épidémiologistes utilisent pour essayer de nous protéger.
Vivek Murthy, s'exprimant au festival The Future of Everything, a déclaré que "nous avançons dans la bonne direction" sur les mesures clés des taux de vaccination et d'infection. (Vidéo du 13/05/21)
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